Главная Экономика Книги Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

РОЗДІЛ 13. ОДНОСЕКТОРНІ НЕЛІНІЙНІ МОДЕЛІ МАКРОЕКОНОМІКИ

13.1. Модель Солоу

Малосекторні нелінійні моделі використовуються для вивчення довготермінових тенденцій і чинників розвитку (трансформації) економіки. Невелика кількість секторів дозволяє аналітично подати й проаналізувати на моделі розвиток економіки з адекватним урахуванням нелінійних залежностей обсягів випуску секторів від обсягів ресурсів за різних значень екзогенних параметрів і на підставі цього отримати деяку узагальнену картину економічного зростання.

Модель Солоу є односекторною моделлю економічного розвитку. У цій моделі економічна система розглядається як єдине ціле, виробляючи лише один узагальнений продукт, котрий може і споживатись, і інвестуватись. Модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт—імпорт у явному вигляді не враховуються*1.

*1: {Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998.}

Стан економіки в моделі Солоу задається п’ятьма ендогенними змінними: X — валовий суспільний продукт (ВСП), C — фонд невиробничого споживання, I — інвестиції, L — кількість зайнятих, K — виробничі фонди. Окрім цього, в моделі фігурують такі екзогенні (що задаються поза системою) показники: v — річний темп приросту чисельності зайнятих, m — частка вибулих протягом року основних виробничих фондів, a — коефіцієнт прямих витрат (частка проміжного продукту у валовому внутрішньому продуктові), r — норма накопичення (частка валових інвестицій у ВВП). Межі екзогенних параметрів:

Робиться припущення, що ендогенні змінні змінюються в часі (аргумент t випускається, але він, як правило, є присутнім за визначенням). Екзогенні змінні вважаються постійними в часі. Вважається, зокрема, що норма накопичення є керуючим параметром, тобто в деякий початковий момент часу t0 = 0 вона може встановлюватись керуючим органом системи на будь-якому рівні в межах області допустимих значень. Час t вважають неперервним і таким, що вимірюється в роках. Для миттєвих показників L = L(t), K = K(t) це є досить природним, оскільки, в принципі, будь-якого дня можна дізнатися про чисельність зайнятих і шляхом інвентаризації встановити обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоку X = X(t), I = I(t), C = C(t) у момент часу t = [t] + {t} визначається у вигляді накопичених протягом року, що починається на 365{t} днів пізніше 1 січня року [t].

Робиться припущення, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією від двох змінних (ресурсів) K та L.

(13.1)

Розглянемо, як змінюються ресурсні показники впродовж малого проміжку часу Dt. Згідно з означенням темпу приросту чисельності зайнятих

або

отже, здійснюючи інтегрування, маємо:

Використовуючи початкову умову L(0) = L0, отримаємо

Зношеність фондів та інвестиції з розрахунку на рік дорівнюють mK та I відповідно, а протягом часу Dt — відповідно mKDt, IDt, тому приріст фондів упродовж цього часу

звідки отримаємо диференціальне рівняння:

Оскільки проміжний продукт становить aX, то валовий внутрішній продукт дорівнює (1 – a)X.

Інвестиції I = r(1 – a)X, а фонд споживання C = (1 – r)(1 – a)X.

Отже, отримаємо таку формалізовану модель Солоу в абсолютних показниках:

(13.2)

На рис. 13.1 наведена схема функціонування економіки згідно з моделлю Солоу.

Рис. 13.1.Схема функціонування економіки за Солоу

Уведемо також такі відносні показники:

— фондоозброєність;

— народногосподарська продуктивність праці;

— питомі інвестиції (на одного зайнятого);

— середньодушове споживання (на одного зайнятого).

Оскільки

то модель Солоу набуває такої форми в питомих (відносних) показниках:

(13.3)

Наголосимо, що кожен абсолютний чи відносний показник змінюється в часі, тобто можна вести мову про траєкторію системи в абсолютних чи відносних показниках. Траєкторію називають стаціонарною, якщо показники не змінюються в часі:

Як неважко помітити з формул (13.3), встановлення фондоозброєності на деякому постійному рівні k0 приводить до виходу на стаціонарну траєкторію.

На стаціонарній траєкторії тому

, (13.4)

або

Оскільки функція F(K, L) — неокласична, то f(0) = 0, f? > 0, f?? < 0.

Якщо, окрім цього, задати умову то рівняння (13.4) матиме єдиний відмінний від нульового розв’язок k0, що можна побачити на рис. 13.2.

Рис. 13.2

На рис. 13.2, окрім точки k0, що показує стаціонарний рівень фондоозброєності, через позначено рівень фондоозброєності, за якою швидкості зростання функцій g1(k) = lk та g2(k) =  = r(1 – a)f(k) є рівними, тобто — корінь рівняння

(13.5)