Главная Экономика Книги Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

10.2.2. Найпростіша мультиплікативна стохастична модель динаміки фінансового ресурсу

За деякий ресурс, що розглядається, можна обрати як залучені кошти загалом, так і депозити до запитання, термінові депозити тощо.

Досліджувана модель ґрунтується на гіпотезі щодо можливості відслідкувати обсяги досліджуваного ресурсу через дискретні рівновеликі проміжки часу t. Позначимо через xt обсяг ресурсу в момент часу t, а x0 — обсяг у початковий момент часу (припустимо, що x0 > 0). Припустимо також, що перехід обсягу ресурсу, котрий визначається дійсним числом xi–1 > 0 у момент часу t = i – 1 до ресурсу обсягом xi > 0, що відповідає моменту часу t = i, можна описати співвідношенням:

(10.21)

де ai > 0 — невід’ємний коефіцієнт елементарного переходу від xi–1 до xi, i = 1, …, n.

З (10.21) випливає:

(10.22)

де x0, xn, ai I R1, x0 > 0, ai > 0, i = 1, …, n.

У частковому випадку, коли всі коефіцієнти елементарних переходів є однаковими (ai = a > 0, i = 1, …, n), формула (10.22) набуває вигляду:

(10.23)

що вказує на експоненційну залежність обсягу ресурсу від часу. Тому xn ®?, якщо a > 1; xn ®0, якщо a < 1.

Якщо спостережувані значення інтерпретувати як реалізації випадкових величин , то формула (10.22) перетворюється у таку стохастичну мультиплікативну модель динаміки ресурсу на дискретному відрізку часу (0, n):

(10.24)

де — випадкова величина обсягу ресурсу в момент t = n.

Припустимо, що всі випадкові коефіцієнти елементарних переходів є незалежними і кожен з них має логнормальний закон розподілу , де — відповідно математичне сподівання та дисперсія логнормально розподіленої випадкової величини :

.

Функція щільності розподілу запишеться так:

(10.25)

Вираз для математичного сподівання:

(10.26)

Другий початковий момент:

(10.27)

Дисперсія

(10.28)

Знайдемо тепер функцію розподілу випадкового коефіцієнта:

(10.29)

Очевидно, що в цьому випадку коефіцієнти мають логнормальний закон розподілу:

з параметрами:

(10.30)

(10.31)

Звідси легко отримати вираз для математичного сподівання

(10.32)

другого початкового моменту

(10.33)

та дисперсії

. (10.34)

Отримаємо також вираз для випадкової величини :

(10.35)

Для прогнозування обсягу ресурсу, що здійснюється у момент t = 0 на момент часу t = n, можна використати математичне сподівання випадкової величини :

(10.36)

Точність такого прогнозу природно оцінити за допомогою середньоквадратичного відхилення:

(10.37)

яке можна використати для побудови довірчого інтервалу:

. (10.38)

Щодо можливих значень прогнозованої величини ресурсу в момент t = n коефіцієнт g > 0 обирається так, щоб забезпечити задану ймовірність потрапляння значень випадкової величини ресурсу у відрізок (10.38) або ймовірність (a = 1 – g) (ризик) того, що випадкова величина сягне за межі вказаного відрізка.

Якщо всі незалежні випадкові величини мають один і той самий логнормальний закон розподілу з параметрами , то можна запропонувати наведену нижче схему оцінювання параметрів m та s2.

Нехай спостерігається низка послідовних значень x0, x1, …, xk обсягу ресурсу. Припускаючи, що всі ці значення невід’ємні, обчислюємо низку значень a1, …, an коефіцієнта елементарного переходу:

(10.39)

Згідно з нашою моделлю низку значень ln ai, i = 1, …, k можна розглядати як просту випадкову вибірку обсягу k з генеральної сукупності, що описується нормальним законом розподілу з математичним сподіванням m і дисперсією s2. Тому обґрунтованою, незміщеною й ефективною оцінкою для параметра слугує вибіркове математичне сподівання:

, (10.40)

а обґрунтованою й незміщеною оцінкою параметра s2 — вибіркова дисперсія:

(10.41)

Можна отримати й емпіричні формули для прогнозованої величини обсягу ресурсу на момент часу t = n і середньоквадратичне відхилення цього прогнозу (для оцінки його точності):

(10.42)

(10.43)

Однією з проблем, що виникають у ході практичної реалізації викладеної вище методики прогнозування динаміки фінансових ресурсів, є те, що передбачаються досить широкі межі для оцінки можливих відхилень фактичних величин від прогнозних. Натомість величина , що визначає ці межі, як правило, швидко зростає зі збільшенням номера кожного наступного періоду. Усе це знижує практичну цінність отримуваних результатів.

Очевидно, що значення n*, починаючи з якого швидкість розходження меж довірчого інтервалу суттєво зростає, може визначатися за умови:

(10.44)

З (10.44) можна отримати:

(10.45)

де

(10.46)Гіпотеза щодо логнормального закону розподілу коефіцієнтів елементарного переходу забезпечує зручність і простоту мультиплікативних перетворень, що, на жаль, не поширюється на операції адитивного характеру. Практично всі конкретні фінансові ресурси пов’язані тими чи іншими адитивними співвідношеннями, як-от, наприклад, сума всіх депозитів складається із суми трансакційних, ощадних та інших депозитів. Відповідно, узявши гіпотезу щодо логнормального закону розподілу коефіцієнтів переходу для окремих видів депозитів, ми автоматично визначаємо закон розподілу для аналогічних коефіцієнтів сумарних депозитів, який не буде логнормальним. Найбільш раціональним вбачається саме такий підхід до розв’язання цієї суперечності.

Ураховуючи те, що сума незалежних випадкових величин розподілена за нормальним законом, на практиці можна вважати, що розподіл коефіцієнтів елементарного переходу для сумарного фінансового ресурсу можна апроксимувати логнормальним, особливо тоді, коли значення їхніх параметрів мало відрізняються.