Главная Экономика Книги Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

РОЗДІЛ 7.МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ

Головне завдання під час вивчення питання щодо поведінки споживача полягає в тому, щоб установити, в яких обсягах він купує наявні товари та послуги за заданих цін і до

7.1. Переваги споживача та його функція корисності ходу.

Рішення споживача щодо купівлі певного набору товарів математично можна подати як вибір точки у просторі товарів. Нехай n — скінченне число різноманітних товарів, деx = (x1, …, xn)? — вектор-стовпчик споживчих товарів (обсяги), що їх придбав споживач за певний термін (наприклад протягом року) за заданих цін, маючи певний обсяг доходів за цей самий період.

Простір товарів— це множина різноманітних наборів товарів x з невід’ємними координатами.

C = {x : x ? 0}.

У теорії споживацького вибору припускається гіпотеза, що кожен споживач має свої пріоритети на певній підмножині простору товарів:

X I {x : x ? 0}.

Це означає, що для кожної пари x I X, y I Y має місце одне з трьох відношень:

x y — набір x є привабливішим, ніж y;

x y — набір x є менш привабливим, ніж y;

x ~ y — для споживача обидва набори еквівалентні.

Відношення переваги мають такі властивості:

1) якщо x y, x z, то x z (транзитивності);

2) якщо x y, то x y (ненасиченість: більший набір завжди привабливіший меншого).

Виконується така теорема:

Теорема Дебре. Якщо множина X зв’язна без дір, а відношення переваг неперервні, то функція корисності існує (слабкі гіпотези). Переваги споживача можна подати у формі індикатора переваг, тобто такої функції корисності u(x), що з x  y випливає u(x) > u(y), а з x ~ y випливає u(x) = u(y).

Для кожного споживача таке подання індикатора є багатоваріантним. Наприклад, якщо u(x) — функція корисності, то і cu(x), ln u(x) — також індикатор переваг.

Уведення функції корисності дозволяє замінити відношення переваги звичними відношеннями між числами: більше, менше, дорівнює.

У теорії споживання припускаються гіпотези і вважається, що функція корисності має такі властивості:

1)  — зі зростанням споживання блага корисність зростає;

2) — невеликий приріст блага за його початкової відсутності різко збільшує корисність;

3) — зі зростанням споживання блага швидкість зростання корисності зменшується (спадає);

4) — коли є дуже великий обсяг блага, його подальше зростання не приводить до зростання корисності.

Умова 3 зазвичай використовується у більш широкому трактуванні — як матриця других похідних (матриця Гессе)

і є від’ємно визначеною.

Гранична корисність товару

показує, на скільки зростає корисність, якщо кількість товару зростає в малому обсязі.

Поверхнею байдужості називають гіперповерхню розмірністю (n – 1), на якій корисність постійна:

або має диференційовану форму:

(7.1)

Умова (7.1) означає, що дотична до поверхні байдужості перпендикулярна градієнтові корисності.

Це означає (з погляду споживача) можливість заміни одного товару певною кількістю іншого (рівноцінного) товару.

Нехай в (7.1) dxi = 0 для i = 3, …, n, тоді це співвідношення має вигляд:

звідси

(7.2)

тобто гранична норма заміщення першого товару другим дорівнює відношенню граничної корисності першого та другого товарів.

Норма заміщення показує, скільки необхідно одиниць другого товару, щоб замінити малий обсяг першого товару, який вибув.

Бюджетною множиною називають множину тих наборів товарів, які може придбати споживач, маючи дохід обсягом M:

де p = (p1, …, pn) — вектор-рядок цін.

Модель поведінки споживача

У теорії споживання вважається (робоча гіпотеза), що споживач завжди прагне максимізувати свою корисність, і єдине, що його стримує, — це обмежений дохід:

(7.3)

Ця задача на умовний екстремум приводиться до знаходження безумовного екстремума функції Лагранжа:

L(x) = u(x) – l (px – M).

Необхідні умови локального екстремуму:

(7.4)

. (7.5)

Це дійсно визначає точку максимуму, бо матриця u— від’ємно визначена. З (7.5) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір x*, що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін:

Якщо розв’язати (7.4), (7.5) відносно x*, отримаємо функцію попиту споживача:

(7.6)