Главная Экономика Книги Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

5.5. Види виробничих функцій

Нехай Фп — множина всіх функцій від п змінних, визначених у деякій області М простору Rn. Підмножина F I Фn називається параметричною (точніше, k-параметричною), якщо існує під- множина Ak I Rn і відображення r: Ak ® Фn, тобто таке, щоr(A) = F.У k-параметричному класі F кожна функція

цілком визначається вектором параметрів a = (a1, ..., ak) і може бути записана як fa(x). Зміст параметризації деякої множини функцій, по суті, є аналогічним уведенню системи координат, за допомогою якої кожна функція з цієї множини ототожнюється з послідовністю своїх координат. Параметризацію допускають лише не дуже широкі множини F, зокрема, множина Фп не може бути k-параметричною за жодного скінченого k. Якщо відображення ? є лінійним, тобто p(a' + a'') = p(a') + p (a''), a', a'' I Ak, то клас F утворюють функції, лінійні за параметром. Що ж спільного можуть мати функції f, які належать деякій параметричній множині F? Припустимо, що всі функції f I F диференційовані до другого порядку включно, а множина Ak збігається з Rn. Співвідношення розглядатимемо як систему з рівнянь відносно k параметрів a1, ..., ak. Кількість параметрівk, як правило, має той самий порядок, що й кількість змінних , тому здебільшого параметри a1, ..., an можна виразити як функції від x1, ..., xn, y, , використовуючи k рівнянь з цієї системи. Підставляючи отримані вирази у рівняння, що залишилися, можна отримати систему диференційних рівнянь щодо функції f(•), яка вже не містить параметрів. Часто у такий спосіб вдається досягти того, щоб множина розв’язків отриманої системи рівнянь щодо функції f(•) збіглася б з F, тобто F був би загальним інтегралом системи. Власне, те, що функції з класу, який задовольняє цю систему диференційних рівнянь з частковими похідними, і є тією властивістю, що об’єднує їх. Ця обставина дає ключ до вибору виду виробничої функції певного об’єкта. Система диференційних рівнянь (разом із частковими похідними за чинниками є визначальною у формуванні таких систем. Використовуються також інші характеристичні функції — середня ефективність чинника, еластичність випуску за чинником, гранична норма заміщення чинника тощо), що поєднує між собою в загальному випадку значення функції, її аргументів і характеристик (в тій самій точці, що й значення функції). Інформація, що може бути отримана на стадії якісного (вербального) економічного аналізу модельованого об’єкта, часто дозволяє прийняти чи відхилити припущення щодо існування такого зв’язку.

Для кожного з видів функцій можна вказати одну чи кілька систем умов для характеристики функцій даного виду, що однозначно виокремлюють цей вид з-поміж інших. Ці умови являють собою чи співвідношення між різними характеристиками функції, чи опис поведінки окремих характеристик на різних підобластях області її визначення.