Главная Экономика Книги Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

4.3.3. Імовірнісна модель впливу чинників ризику

{Смоляк С. А. Учет риска при установлении нормы дисконта // Экономика и математические методы. — 1992. — Т. 28. — Вып. 5—6. — С. 794.}

Постановка задачі.Процес одержання доходу від функціонування об’єкта характеризується інтенсивністю (швидкістю) x(t). Тоді дохiд, одержуваний за досить малий інтервал часу (t, t + dt), буде x(t)dt. Вважатимемо відомою інтенсивність одержання доходу х(0) = Х на початку функціонування об’єкта (у момент часу t = 0). На подальшу динаміку цього показника впливають дві групи чинників.

• Фізична зношуваність основних засобів. Припустимо, що залежно від віку основних засобів дохід зменшується лінійно:

x(t) = X – bt . (4.22)

Відомо, що об’єкт доцільно експлуатувати доти, поки дохід від нього не від’ємний. Тому в кінці терміну експлуатації (у рік Т) має бути x (Т) = 0. Звідси

або (4.23)

• Різного роду випадкові чинники, що зумовлюють ризик використання об’єкта. Якби їх впливу не було або він був неістотним, то за відомої норми дисконту дохід від функціонування об’єкта обчислювався б за формулою:

(4.24)

Вважатимемо відомими (виокремимо) три типи випадкових чинників, що впливають на дохідність об’єкта: випадкові «збої» у виробництві; різкі зміни економічного середовища («катастрофи»); випадкові коливання цін, податків та обсягів попиту.

Щоб адекватно відобразити ці чинники в нормі дисконту R, потрібно виконати два варіанти розрахунку дохідності від роз- глядуваного об’єкта.

У першому, що використовує норму дисконту R, згадані випадкові чинники взагалі не беруться до уваги, а інтегральний дисконтований дохід оцінюється згідно з (4.24).

У другому, що спирається на «безризикову» норму Rj, ці чинники включаються безпосередньо у відповідну модель випадкового процесу зміни інтенсивності доходу.

Тоді значення норми дисконту R, яке враховує чинники ризику, доцільно зробити такими, щоб обидва варіанти розрахунків однаково оцінювали ефективність функціонування об’єкта.

Розгляньмо докладніше моделювання доходу з урахуванням перелічених чинників ризику.

Випадкові «збої» у виробництві. Нехай у момент t об’єкт характеризувався деякою інтенсивністю одержання доходу x(t). Тоді протягом наступного малого інтервалу часу dt або відбудеться «збій» у виробництві з імовірністю wdt, або об’єкт функціонуватиме «нормально» з імовірністю 1 – wdt. Якщо «збій» відбувся, то на його усунення потрібен деякий час t (вважатимемо цю величину малою, але не нескінченно малою), а також знадобляться додаткові витрати x, взагалі кажучи, випадкові.

Вважатимемо, що після цього виробництво повертається до свого попереднього стану, тобто «збій» не зменшує часу функціо- нування об’єкта.

«Катастрофи». Поряд з даним покупцем (власником об’єкта) той самий вид діяльності здійснюють інші підприємці. Може статися так, що хтось із них розробить новий ефективний спосіб (технологію) виробництва відповідної продукції, у зв’язку з чим ціна на продукцію різко впаде. Тоді подальше функціонування першого об’єкта вже не забезпечуватиме доходу, що для підприємця стане економічною катастрофою. Аналогічна ситуація можлива й тоді, коли істотно зміниться чинне податкове законодавство або політична ситуація в регіоні.

Нехай імовірність такої «катастрофи» в інтервалі (t, t + dt) дорівнює kdt, де k — інтенсивність «катастроф», що не залежать від t. Оцінювати ймовірність таких ситуацій можливо лише експертно, з урахуванням результатів аналізу науково-технічного прогресу у відповідній виробничій галузі (підгалузі) і прогнозу економічної та політичної ситуації.

Оскільки величини k і t — малі, «катастрофи» у період існування наслідків «збою» вважатимемо неможливими.

Коливання цін податків та обсягів попиту. Протягом періоду функціонування об’єкта ціни на продукцію, яка виготовляється, сировину, матеріали, комплектувальні вироби, а також обсяги попиту та ставки податку можуть змінюватися. Під впливом цих чинників інтенсивність одержуваного доходу також випадково коливатиметься. Якщо припустимо, що в момент оцінювання об’єкта були правильно визначені розміри доходу, то коливання інтенсивності x(t), зумовлені групою розглянутих щойно чинників, матимуть нульове математичне сподівання, але характеризуватимуться певним розкидом (дисперсією). Природно сподіватися, що в малому інтервалі часу випадкові коливання x(t) мають малу дисперсію, а інтенсивність x(t) не залежить від розмірів таких коливань у попередні відрізки часу.

З огляду на це можна припустити, що ці коливання описуються моделлю вінерівського випадкового процесу, тобто що інтенсивність доходу в близькі моменти часу t i t + dt задовольняє співвідношення

x(t + dt) = x(t) +sdw(t), (4.25)

де s — середньоквадратичне відхилення випадкових коливань інтенсивності доходу x(t) за одиницю часу (середній квадрат таких коливань за час dt дорівнюватиме за цих умов s2dt; w(t) — звичайний вінерівський випадковий процес.

Математичне сподівання доходу в разі урахування чинників ризику.Позначимо через V(x) значення математичного сподівання інтегрального дисконтованого доходу (за норми дисконту Rj) від експлуатації об’єкта до закінчення терміну його функціонування (випадкова величина). Нехай у початковий момент виробництво функціонувало «нормально», а інтенсивність одержуваного доходу була x. Очевидно, що V(0) = 0. Природно розглядати випадок, коли x > 0. Зауважимо, що для визначенні V(x) не має значення, який, власне, момент часу брати за початковий. Це дає змогу дисконтувати доходи до моменту t = 0.

Розгляньмо малий інтервал часу (0, dt). Тут можливі три ситуації.

• З імовірністю w dt станеться збій у виробництві. На усунення його наслідків знадобляться витрати (випадкова величина), дисконтована величина яких x. Виробництво нормалізується через випадковий проміжок часу t (випадкова величина), після чого об’єкт перейде до нормального стану, якому відповідає математичне сподівання інтегрального дисконтованого доходу V(x). У цьому разі різночасові доходи зводяться до часу повної ліквідації наслідків «збою». Якщо звести дохід до моменту t = 0, то величину V(x) слід помножити на відповідний дисконтуючий коефіцієнт .

За припущення, що час ліквідації «збою» випадковий і підлягає експоненціальному закону розподілу із середнім значенням q, математичне сподівання М дисконтуючого коефіцієнта можна подати у вигляді

(4.26)

Вважаючи, що додаткові витрати в процесі усунення наслідків збою відбуваються рівномірно, а їх величина за одиницю часу становить z, знайдемо математичне сподівання дисконтованих витрат, пов’язаних з одним «збоєм»:

(4.27)

• Упродовж інтервалу (0, dt) часу з імовірністю kdt відбудеться економічна катастрофа. У такому разі виробництво зупиниться, а тому інтегральний дисконтований дохід від наступного функціонування об’єкта набуде нульового значення.
• На інтервалі (0, dt) з імовірністю 1 – (w + k)dt об’єкт функціонуватиме «нормально». Тоді за час dt дохiд становитиме x(t)dt, після чого інтенсивність його одержання зміниться на величину bdt за рахунок фізичного старіння основних засобів, а також згідно з (4.25) — на sdw(t) під впливом випадкових коливань цін і (або) податків. Тому в момент часу dt об’єкт характеризуватиметься інтенсивністю доходу x – bdt + sdw(t). Цьому відповідає інтегральний дисконтований (до моменту 0, а не d(t)) дохід, що дорівнює

Ураховуючи ймовірність кожної з розглянутих ситуацій і той стан, у якому перебуває об’єкт після них, можна записати вираз для математичного сподівання інтегрального дисконтованого доходу від функціонування об’єкта:

З урахуванням (4.25), (4.27) це рівняння з точністю до малих величин порядку, вищого за перший, можна замінити таким:

(4.28)

Припустимо, що функція V досить гладка, і за умови x0 її друга похідна V''(x) існує і є неперервною. Тоді, розклавши останній співмножник у ряд Тейлора і врахувавши, що величина dw(t) має нульове значення математичного сподівання та дисперсію , знайдемо:

Звідси маємо рівняння

(4.29)

де

d = Rj + k + (1 – q)w. (4.30)

Лінійна функція

V0(x) = (x – Cw)/(s – b/s2) (4.31)

є одним із розв’язків цього рівняння. Загальний розв’язок (4.29) записують як суму V0(x) і розв’язок відповідного однорідного рівняння

(4.32)

Очевидно, що (4.32) має два лінійно незалежних розв’язки — еlх і еmх. Тут

. (4.33)

Величини l, m — це корені відповідного характеристичного рівняння.

Отже, загальний розв’язок (4.29) має вигляд:

V(x) = V0(x) + Celx + C0emx.

З (4.33) бачимо, що m > 0 > l. Отже, коли C0 ? 0, то функція V(x), якщо х ® +?,експоненціально зростатиме до +? або експоненціально спадатиме до –?. Порівнюючи з детермінованим випадком, бачимо, що функція V(x) має зростати не швидше за x(t). Це можливо лише тоді, коли C0 = 0.

Згідно з умовою V(0) = 0 маємо C = –V0(x). Далі запишемо

V(x) = x/d – (Cw/d + b/d2) [1 – elx]. (4.34)

Зокрема, математичне сподівання інтегрально дисконтованого доходу від функціонування об’єкта з моменту, коли почалася на ньому відповідальна діяльність, після того як придбав його у власність даний підприємець, можна обчислити за формулою (4.34) за умови, що х = Х, тобто

.

Агрегування впливу випадкових чинників у один показник. Зауважимо, що коли w = k = s = 0 i Rj = R, то формула (4.34) перетворюється у формулу (4.24). Очевидно, що реальна динаміка доходу підприємства не завжди збігається з лінійною моделлю (4.22).

Тоді зручніше обмежитися прогнозуванням динаміки середнього значення доходу, агрегувавши в один показник усю наявну інформацію про вплив випадкових чинників.

У розвинутих країнах вплив чинників ризику і невизначеності враховується, по суті, встановленням відповідної норми дисконту (про що вже йшлося раніше).

Для того щоб обчислення за формулами (4.24) і (4.34) з нормами дисконту R i Rj давали однакові результати, має задовольнятися рівняння

(4.35)

Уведемо такі позначення:

Сw/X = g, d(sT/C)2 = n, dT = a, RT = r . (4.36)

Співвідношення (4.35) можна подати у вигляді:

(4.37)

Отже, щоб визначити невідому норму дисконту, потрібно спочатку згідно з вихідною інформацією знайти ? (розв’язок рівняння (4.37)) і, нарешті, обчислити R:

(4.38)

Це означає, що норма дисконту R з урахуванням ризику відрізняється від ? коригуючим коефіцієнтом . Значення цього коефіцієнта, як бачимо, залежить лише від a, g та n.

Можна поглиблено проаналізувати вплив кожного з уведених чинників ризику.

Сформулюймо такий важливий висновок з побудованої моделі: норму дисконту R, знайдену розглянутим способом, не можна подати ні у вигляді сум безризикової складової Rj та деякої надбавки, яка враховує ризик (премія за ризик) і є незалежною від Rj, ні у вигляді добутку цієї складової і якогось більшого від одиниці коефіцієнта, який не залежить від Rj і враховує ризик.

Умовний приклад розрахунків норми дисконту з урахуванням чинників ризику. За одиницю вимірювання часу візьмемо один рік. Вважатимемо, що «збої» у виробництві виникають у середньому один раз на рік: , а час на ліквідацію наслідків збою підлягає експоненційному закону розподілу із середнім значенням q = 0,04 (приблизно двом тижням). Припустимо, що витрати, пов’язані з ліквідацією наслідків «збою», пропорційні витратам в одиницю часу, причому кожен день «збою» не лише призводить до відсутності відповідного доходу, а й потребує додаткових витрат, що становлять 50 % початкового доходу Х. За даних передумов із (4.26) та (4.27) знайдемо:

Поява нових технологій, упровадження яких зробить розглядуване виробництво збитковим, можна вважати малоймовірним. Якщо припустити, що такі «революції» в технології відбуваються в середньому три рази за сторіччя, то можна брати k = 0,03.
Запишемо співвідношення для параметрів, які входять до рівняння (4.37):

У цьому разі R залежатиме лише від Rf і T та співвідношення .

Порівнювання значень R та Rj підтверджує висновок про неадитивність і немультиплікативність впливу чинників ризику на норму дисконту.