Главная Прочие дисциплины Книги Математичне програмування - Наконечний С.І.

Математичне програмування - Наконечний С.І.

7.3. Розв’язування дробово-лінійної задачі зведенням до задачі лінійного програмування

Нехай потрібно розв’язати задачу (7.1)—(7.3).

Позначимо

і введемо заміну змінних . Тоді цільова функція (7.1) матиме вигляд:

.

Отримали цільову функцію, що виражена лінійною залежністю.

Оскільки , то звідси маємо: . Підставимо виражені через нові змінні значення в систему обмежень (7.2):

Крім того, з початкової умови

.

Умова (7.3) стосовно невід’ємності змінних набуває вигляду:

.

Виконані перетворення приводять до такої моделі задачі:

Отримали звичайну задачу лінійного програмування, яку можна розв’язувати симплексним методом.

Допустимо, що оптимальний розв’язок останньої задачі існує і позначається:

.

Оптимальні значення початкової задачі (7.1)—(7.3) визначають за формулою: .

Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене у Лісостепу України, бажає оптимізувати структуру виробництва. Критерієм оптимальності вибрали максимізацію рівня рентабельності як відношення прибутку до собівартості. У табл. 7.1 маємо дані про види діяльності, якими керівництво товариства передбачає займатися.

Таблиця 7.1

Техніко-економічні показники головних напрямів виробництва

Акціонерне товариство має 2500 га ріллі. Для виготовлення кормів передбачається використовувати 20 % урожаю озимої пшениці та 30 % — цукрових буряків.

Знайти оптимальну структуру виробництва.

Розв’язання. Введемо позначення:

х1 — площа посіву озимої пшениці, га;

х2 — площа посіву цукрових буряків, га;

х3 — площа посіву кормових культур, га;

х4 — кількість корів продуктивністю 5000 кг/рік;

х5 — кількість корів продуктивністю 4500 кг/рік;

х6 — кількість корів продуктивністю 4000 кг/рік;

х7 — кількість корів продуктивністю 3500 кг/рік.

Запишемо критерій оптимальності:

за умов дотримання таких обмежень:

1. Обмеження щодо використання ресурсів:

1. а) використання ріллі:
2. ;
3. б) використання живої праці:
4. ;
5. в) використання механізованої праці:
6. .
7. 2. Обмеження стосовно дотримання сівозмін:
8. а) посівна площа кормових культур має бути більшою або дорівнювати площі під озимою пшеницею:
9. ;
10. б) посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:
11. .
12. 3. Структура корів за продуктивністю:
13. а) балансове рівняння щодо поголів’я корів:
14. ,
15. де — загальне поголів’я корів;
16. б) частка корів продуктивністю 5000 кг/рік:
17. ;
18. в) частка корів продуктивністю 4500 кг/рік:
19. ;
20. г) частка корів продуктивністю 4000 кг/рік:
21. ;
22. д) частка корів продуктивністю 3500 кг/рік:
23. .
24. 4. Забезпеченість корів кормами:
25. 
26. Невід’ємність змінних:
27. ().
28. Щоб знайти розв’язок за цією моделлю, необхідно зробити відповідну заміну змінних. Нехай:
29. 
30. і .
31. Тоді маємо таку лінійну економіко-математичну модель:
32. 
33. за умов:

1. ;

1. ;
2. .
3. 2.
4. 
5. 3.
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 4. .

5. .

6.  .

Розв’язавши задачу симплексним методом, отримаємо такий оптимальний план: . Враховуючи, що , оптимальним планом початкової задачі буде:

,

причому значення цільової функції (рівень рентабельності виробництва) становить Z = 0,23, тобто 23 %.