Начало раздела Производственные, любительские Радиолюбительские Авиамодельные, ракетомодельные Полезные, занимательные	Хитрости мастеру Электроника Физика Технологии Изобретения	Тайны космоса Тайны Земли Тайны Океана Хитрости Карта раздела
Использование материалов сайта разрешается при условии ссылки (для сайтов - гиперссылки)

МЕХАНИКА ДЛЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
О ПРИНЦИПАХ КРАТЧАЙШЕГО ВРЕМЕНИ И НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Часть 2

к.т.н., Юдин Сергей Юрьевич

Оставьте комментарий

  Как и обещал в статье посвященной двум мерам механической формы движения материи, чтобы завершить вопрос о двух мерах, я сейчас рассмотрю какое отношение имеет к этому вопросу такая физическая величина как “действие”. Почему же такая величина как “действие” претендует на роль еще одной меры механического движения? А вот здесь получается просто замкнутый круг. Претендует она потому, что среди множества различных вариационных принципов есть и такой как принцип наименьшего действия, а он в свою очередь выделился из общей толпы различных величин оптимизируемых при различных вариационных принципах потому, что есть квант действия да еще и имеющий официальный статус наименьшего действия в Природе. А назвали эту величину (постоянную Планка) квантом действия, т.е. отмеренной порцией механического движения, потому что размерность этой величины совпала с размерностью величины, которую надо минимизировать в принципе наименьшего действия (и там и там джоуль умножить на секунду), а не с какой то другой величиной, например, с величиной наименьшего принуждения, которую надо минимизировать в принципе Гауса, и которая имеет размерность джоуль разделить на секунду в квадрате (впрочем физический смысл и этой величины и не понятен как и первой). Давайте постараемся все же отделить действие от кванта действия и рассмотреть обе эти величины исходя не из их размерности, а из их физического смысла.

  И начнем рассмотрение принципа наименьшего действия с того, что само название этого принципа, как наименьшего действия, не удачное на что указывали все, кто занимался его разработкой (Эйлер, Лагранж и другие) так как во-первых величина действия при соблюдении этого принципа может быть не только минимальной, но и максимальной, т.е. имеет место не минимум, а экстремум функции, а во вторых само понятие “действия” не имеет никакого отношения не только к кванту действия, как какой то минимальной величине, но и вообще к “действию” как таковому, т.е. взаимодействию между телами. И с таким же успехом его можно было бы назвать принципом наименьшего зла или наименьших потрясений или наибольшей влюбленности, а уже исходя из того, что конкретный автор хочет получить используя этот принцип, он и наполнял бы содержанием понятие зла, влюбленности или потрясений. И вообще складывается такое впечатление, что каждый автор излагая свой вариант этого принципа как бы предлагает вам сыграть в карты, а после окончания игры, исходя из того что получилось, объявляет вам, что он выиграл потому что мы играли в очко или при другом раскладе все равно говорит, что он выиграл потому что мы играли в дурака.

  А такое название этот принцип получил еще в 1744 году, когда даже не существовало таких понятий как энергия, мощность и т.д., именно исходя из того, что подразумевалось достижение какой то цели, как, например, при игре в карты, а не исходя из физического смысла. Мопертюи дал ему это название исходя из метафизических представлений о Природе, где все должно происходить из каких то разумных соображений как будто бы Природа в своих действиях преследует какие то цели, которые сама перед собою и ставит, т.е. имеется в виду наличие Бога, который осуществляет в Природе только разумные процессы. А ведь кроме разумности поведения в этом принципе действительное движение в конкретное время приходится рассчитывать с помощью будущего движения, т.е. получается, что настоящее зависит от будущего и, следовательно, без божественного предвидения здесь никак не обойтись. И только после в этот принцип принесли математическое содержание великие геометры (читай математики) Эйлер и Лагранж, а затем и Гамильтон, но божественное начало так и продолжает витать над этим принципом.

  Правда многие ученые отвергают божественное начало в этом принципе, но как то не очень убедительно. Вот, например, Планк [5], который, естественно, после своего кванта действия, просто обязан боготворить этот принцип, уже в ХХ веке пишет о его сущности так “В связи с этим надо вспомнить о Теодице Лейбница, в которой выдвинут тезис о том, что истинным миром среди всех миров, которые могли бы быть сотворены, является тот мир, который наряду с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Этот тезис является не чем иным, как вариационным принципом, выраженным в такой же форме, как возникший позднее принцип наименьшего действия. Неизбежное сцепление добра и зла играет при этом роль предписанных условий, и ясно, что фактически из этого тезиса могли бы быть выведены все особенности действительного мира, если бы удалось математически точно сформулировать, с одной стороны, меру для количества добра, с другой стороны – предписанные условия”. Я извиняюсь за такую длинную цитату, но вопрос действительно очень серьезный, т.к. с помощью принцип наименьшего действия и сейчас пытаются получить “все особенности действительного мира”. Вначале из механики этот принцип стараниями Гельмгольца перебрался в термодинамику, а сейчас уже и в квантовую механику и в биологию и в экономику.

  По молодости и Эйлер, величайший геометр всех времен и народов, который и заложил математические основы в этот принцип (рискну предположить, что и основы Русской математической школы), тоже придавал ему теологическое значение и очень много уделял ему внимания, но со временем его энтузиазм иссяк и он, и как и Лагранж, отвергал претензии этого принципа на всеобщую значимость и на звание основного общего закона природы. Но вот, например, уже в современном цитатнике [3] (считай официальном учебнике СССР, а теперь России) этот принцип именно основным законом Природы и объявляется. Хотя, я думаю, это уже наверное больше относится не к науке, а к политике, ведь, как я уже указывал в предыдущей статье на примере с лагранжианом, главный проповедник этого принципа Ландау из коньюктурных соображений очень быстро меняет свои научные взгляды исходя из “официальной” точки зрения в науке. И хотя формально вроде бы все современные ученые отвергают существование Бога, но используя этот принцип они официально вносят его в науку. Да, история у этого принципа громкая (даже Вольтер руку приложил как писатель) и исторически его идея была первой в ряду многих вариационных принципов, но вот практической пользы от него оказалось еще меньше, чем от уравнений Лагранжа 2-го рода, возможности которых рассмотрены мною в [9]. Например, Пуассон назвал его “лишь бесполезным правилом”, а Планк писал, что он “не оказал никакого существенного практического влияния на научный прогресс” [5] (как Вы поняли, это высказывание конечно же относилось к прогрессу до появления его кванта действия).

  Но попробуем все же разобраться как в сущности самого принципа наименьшего действия, так и самой оптимизируемой величины, т.е. действия. Впервые похожая на этот принцип идея, использованная в принципе кратчайшего времени движения света, была высказана еще Ферма [8] в 1662 г., а после в 1682 г. и Лейбницем исходя из коэффициента преломления света (это вообще удивительно, т.к. о природе света тогда было еще более смутное представление, чем о законах механики). Тем ни менее эта идея кратчайшего времени Ферма натолкнула И. Бернули [2] в 1696 г. исходя только из этого голого принципа кратчайшего времени движения на аналогичное решение задачи для движения механических тел в поле тяжести Земли. И что самое удивительно так это то, что у него все очень удачно получилось. К сожалению задача Ферма решена геометрически, а в решении Бернулли хотя уже и используется дифференциальное исчисление, основы которого не за долго до этого заложили Лейбниц и Ньютон, но это решение сейчас тоже трудно воспринимается, т.к. тогда даже координатные оси располагались не так как сейчас. На всякий случай напомню, что все задачи тогда решались геометрически и, например, Ньютон в своих Началах, которые были написаны примерно в это же время, все задачи решал именно так, да и сама алгебраическая запись уравнений (причем самые ее начала) была введена Виетом только за 100 лет до этого. Поэтому решение задачи Бернулли я дам в сокращении и в современных терминах, а современное математическое решение задачи Ферма приведу из работы [1].

  На Рис.1 представлена задача о наименьшем времени Ферма, в которой доказывается, что луч света при движении сразу в двух средах с разным сопротивлением движению, которые на рисунке разделены горизонтальной линией (ось x), например, из воздуха в воду пройдет не по прямой ACB, соединяющей две точки A и B, а по линии ADB потому что время движения при этом будет минимальным. При этом отношение синусов углов alfa1 к alfa2 будет равно коэффициенту преломления между этими средами, т.е. отношению скоростей света в этих двух средах, которые можно считать величиной пропорциональной разряженности вещества. В качестве постулата при решении этой задачи Ферма принял, что Природа действует наиболее легкими и доступными путями. И исходя из этого он доказывает, что наиболее легким путем, выйдя из точки A, свет достигнет точки B если будет двигаться по пути ADB, т.к. при этом он затратит на это минимальное время и, следовательно, это и будет истинный путь света.

  Если у нас градиент скорости по оси x не будет изменяться, то мы легко найдем закон движения луча, чтобы он за минимальное время достиг точки B. Исходя из геометрических соображений, и зная скорость луча над осью абсцисс V1 и под ней V2, найдем общее время движения луча

Теперь возьмем производную dt/dx и приравняем ее нулю. У нас получится

  Это не что иное, как закон преломления Снелиуса, только записанный в другой форме и т.к. V1 = c/n1, а V2 = c/n2, где c - скорость света в вакууме, а n1 и n2 - это абсолютные показатели преломления среды относительно вакуума и мы можем записать

  Здесь уже n21 – это привычное нам значение показателя преломления второй среды относительно первой. Если мы ниже точки B расположим третий слой среды с коэффициентом преломления n3, т.е. скоростью движения света в нем V3, то мы и сможем записать

  Таким образом мы видим, что для минимального времени движения луча света, переходящего последовательно из среды с одним коэффициентом преломления в среду с другим коэффициентом преломления, достаточно, чтобы соблюдался закон преломления Снелиуса, а он, естественно, будет соблюдаться, если не считать случая, когда происходит полное отражение света от одной из сред (при переходе из более плотной среды в менее плотную под большим углом). При этом, как Вы заметили, у нас отношение синуса угла преломления к скорости света в каждой среде всегда остается одно и тоже, т.е. это константа. Вот это соотношение и применил Бернулли для решения своей задачи.

  На Рис.2 представлен подлинник его рисунка к этой задаче, где надо найти вид кривой AMK по которой должн двигаться луч света, чтобы за минимальное время пройти от точки A к точке K в слоистой среде. При этом слои среды распологаются параллельно линии AG, т.е. оси абсцисс, и плотность среды убывает сверху вниз вдоль оси ординат AD согласно произвольному закону изменения скорости движения луча с уменьшением высоты (кривая AHE), т.е. увеличением ординаты и при ординате AC скорость равна HC. Выделяя элемент кривой ds (на рисунке отрезок Mn), Бернулли исходя из того, что отношение синуса угла преломления к скорости движения луча должно быть на всем пути постоянно, т.е. равно какой то величине 1/a, записал (dx/ds)/V = 1/a, что можно переписать как a*dx = V*ds

  Теперь если мы левую и правую части возведем в квадрат и заменим ds^2 на dx^2 + dy^2, то мы получим общее дифференциальное уравнение

  Это и есть уравнение движения луча света, чтобы он за минимальное время при заданном законе изменения скорости или коэффициента преломления в вертикальных слоях при начальной скорости, которая вообще то должна быть отлична от нуля в отличии от закона изменения заданного Бернулли, достиг точки K вылетев из A. А если закон изменения скорости света будет такой, что мы получим циклоиду, то, если еще и в точке K луч света отразиться, то он сможет пройти и вторую половину дуги циклоиды, но об этом после, а сейчас давайте проведем аналогию с движением материальной точки в такой же среде. При этом точка может скользить по направляющей произвольной формы без трения и механическое сопротивление среды (в смысле отсутствия сопротивления воздуха), а с увеличением ординаты (в координатах рисунка) скорость падающих тел будет увеличиваеться и мы это можем интерпретировать как уменьшение плотности в слоях нашей гипотетической среды. Взяв, полученный Галилеем закон изменения скорости падающих тел в поле тяжести Земли, Бернулли подставил в свою формулу полученное из закона Галилея значение скорости V = sqr (a*Y) и окончательно получил уравнение циклоиды

  Т.е. получается, что у нас механическая задача решена с помощью законов оптики и, следовательно, законы механики и оптики в своей основе похожи и имеют какие то общие закономерности. А решение этой задачи после задачи Ферма с использованием критерия оптимизации укрепило веру многих ученых того времени в то, что все законы Природы действуют так, чтобы все процессы происходили с достижением какой то цели. И если Вы еще не представили себе значение этих двух задач для ученых того времени, то сравните, что в наше время это примерно равноценно открытию ядерных реакций или гена человека. Ведь ученые того времени видели в этих решениях филосовский камень для открытия всех законов Природы, которые обязательно должны были действовать так, чтобы достичь какой то цели и надо было только найти критерии по которым Природа определяет достижение своей цели, т.е. как писал Планк в приведенной выше цитате “надо математически точно сформулировать меру для количества добра”.

  Надо сказать, что в то время, когда математика становилась на ноги, вариационные принципы в механике развивались очень бурно и поэтому не изобрести чего ни будь новенького в математическом плане тогда не мог только ленивый. Правда все эти вариационные принципы являются ближайшими родственниками основного уравнения динамики, т.е. дифференциального вариационного принципа Даламбера-Лагранжа и получены в основном для консервативных систем когда полная энергия в начальной и конечной точках движения системы равны, т.е. в них обязательно как мера механической формы движения материи используется энергия и при этом обязательно должен соблюдаться закон ее сохранения. Но теперь на вариационные интегральные принципы стали возлагать очень большие надежды и видели в них не просто очередной закон Природы, а закон над законами, т.е. инструмент который позволит получить все остальные законы. Но с применением принципа наименьшего действия возникла одна очень большая проблема, а именно трудность в “математической формулировке меры для количества добра”. Наиболее известны формулировки Мопертюи-Лагранжа и Гамильтона-Якоби. В первом случае критерий оптимизации вычисляется как интеграл по пути от произведения массы на скорость, т.е. количества движения, а во втором как интеграл по времени от Лагранжиана, т.е. разности кинетической и потенциальной энергий системы. Как в одном, так и в другом случае размерность критерия получается джоуль умножить на секунду, но физический смысл как мы видим здесь совершенно разный. И вот как раз физический смысл всех этих изобретаемых критериев оптимизации никак ни кому и не удавалось понять.

  Для Лагранжа, например, физический смысл принципа наименьшего действия заключался именно в конкретизации закона живых сил (читай закона сохранения энергии) и он даже писал: “его можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы” [6], а Лаплас о механическом содержании этого принципа говорил так: “интеграл живой силы системы, умноженный на элемент времени, есть минимум, так что, следовательно, истинная экономия природы есть экономия живой силы” [6]. Но, как мне кажется, ближе всех к сущности этого принципа подошел Эддингтон, который очень остроумно заметил, что принцип наименьшего действия можно сравнить с утверждением “если бы законы арифметики перестали быть верными, то 2+2 было бы больше или равно (но наверное не меньше) четырем” [6]. Забегая вперед, скажу, что, как будет показано далее, возможны случаи, когда будет и меньше четырех. Иначе говоря если бы законы механики перестали быть верными, то в каком то приближении для некоторых случаев можно было бы воспользоваться принципом наименьшего действия.

  Но прежде чем перейти к экспериментальной проверке принципа наименьшего действия на предмет “математической формулировки меры для количества добра”, давайте более подробно посмотрим насколько с физической точки зрения верны полученные нами решения задач Ферма и Бернулли. И для начала просто посмотрим как будет двигаться луч света в слоистой среде, для которой мы и решали наши задачи. На рис. 3 и 4 у нас изображено графическое окно программы Hrono1, которую можно скачать с моей домашней страницы http://ser.t-k.ru/, где мы видим 20 горизонтальных прозрачных слоев расположенных через 1 метр с разными коэффициентами преломления, численные значения которых в виде гистограммы даны слева. Смоделированный луч света при проведении вычислительного эксперимента вылетает из левого верхнего угла и движется по 20-у (верхнему слою) до точки в начале 19-го слоя, абсциссу которой мы задаем, а далее уже в соответствии с законом преломления света. На рис. 3 у нас плотность среды увеличивается, а на рис. 4 уменьшается от верхних слоев к нижним по квадратичной зависимости. Аналогичная картина будет наблюдаться и при линейной зависимости на рис. 5 и 6.

  Честно говоря, мне эти кривые чуть напоминают циклоиды, но первые две кривые на рис. 3 очень похожи на циклоиды (начальный участок остальных сильно искажен из за большой толщины первого слоя). И если принять, что это циклоиды, то, при радиусе образующего круга 3…4 метра, получается что циклоида должна достичь точки K на рис. 2 на 9…12 слое, т.е. через расстояние AG = pi*R, а далее луч света должен начать отклоняться влево, но в эксперименте мы этого не наблюдаем. Более того, чтобы луч света стал двигаться строго вертикально, необходимо чтобы скорость света была близка к нулю, т.к. только тогда у нас будет соблюдаться соотношение sin (alfa1) / V1 = sin (alfa2) / V2 и, следовательно, в это соотношение надо внести какие то поправки. Но самое интересное это то, что, как видно из рис. 5, оказывается, луч света в одну и ту же точку пространства (там, где пересекутся лучи, вылетевшие из одной точки) может прийти разными путями, если он движется из более плотных слоев в менее плотные, т.к. в какой то момент он вынужден будет отразиться от одного из слоев и изменить градиент своей скорости, т.е. направление движения поперек слоев (вдоль слоев градиент измениться не может). А отражение это произойдет в тот момент, когда при большом угле падения получится, что синус угла преломления окажется больше единицы. Естественно этого не может быть и свет просто полностью отразиться от этого слоя, как от зеркала, изменив градиент своей скорости. Таким образом, возможно, что свет не всегда затрачивает минимум времени, чтобы из одной точки пространства попасть в другую и значит принцип кратчайшего времени Ферма будет справедлив не всегда, а только тогда когда мы рассматриваем небольшие участки движения, где градиент скорости не меняет своего направления.

  Примем для простоты расчетов, что скорость света в вакууме будет 1 м/с, а, т.к. она обратнопропорциональна коэффициенту преломления слоя, то, например, в слое, где коэффициент преломления будет равен 2, скорость света будет 0,5 м/с. В этом случае, время движения по дальнему пути (синяя линия в средней части рис. 5) до точки пересечения с соседним красным лучом будет 72,67 сек., что больше чем по более короткому пути (красный луч) 71,9 сек., что вполне естественно и не вызывает вопросов. Но если мы рассмотрим аналогичный случай, показанный на рис.6, то выяснится, что время движения луча по дальнему пути (синяя линия в верхней части рисунка) будет 29,82 сек., что меньше, чем время движения по ближнему пути (красная линия) 30,41 сек., т.е. мы получили результат противоположный предыдущему опыту. А если мы посмотрим еще и на две нижние траектории движения света, то поймем, что его траектория движения при различных условиях может быть очень сложной. Таким образом, свет не только может разными путями попасть из одной точки пространства в другую, но даже нельзя сказать при движении по какому из множества возможных путей более короткому или более длинному он достигнет этой точки за минимальное время и, следовательно, принцип кратчайшего времени является только частным случаем общего закона движения света, который имеет место на ограниченном пространстве в том случае если свет не изменяет градиента своей скорости.

  Может быть это относится и к механическому движению и весь принцип наименьшего действия с его критериями оптимизации не имеет никакого отношения к науке, а является чистой метафизикой. Воспользуемся опять программой Hrono1 и смоделируем движение груза массой 1 кг в поле тяжести Земли по различным траекториям (1-прямая линия, 2-циклоида, 3-парабола и 4-дуга окружности) и при этом трением скольжения груза по этим направляющим пренебрегаем (более подробно о том как это происходит можно прочитать в описании программы). Причем траектории движения могут быть, как начинающиеся с нулевой точки, когда в начальный момент они параллельны оси ординат (будем их называть нулевые), так и начинающиеся с произвольного момента, когда движение начинается не строго вертикально (будем их называть произвольными). На рис. 7 показаны возможные траектории движения груза из начальной точки с координатами Xn = -9м и Yn = 9м в конечную точку с координатами Xk = 9м и Yk = -2,455м (начало координат находится в центре рисунка). Ордината конечной точки выбрана таким образом, чтобы угол поворота круга, образующего при качении без скольжения по линии параллельной оси абсцисс циклоиду, был равен 3,14 радиана, т.е. чтобы у нас получилась ровно половина циклоиды (синяя линия).

  Если угол fiK будет меньше 3,14, то мы получим произвольную циклоиду с заданным fiK, т.е. только часть первой половины циклоиды. Точно и мы можем получить нулевую дугу окружности и произвольную, задав абсциссу центра окружности X40 (красные линии). При задании направляющих в виде параболы (желто-зеленые линии) мы для нулевой параболы задаем закон ее изменения X3 = X30 + K3 * (Y30 - Y3) ^2, где X30 = Xn и Y30 = Yn, а коэффициент K3 вычисляется, а для произвольной параболы задаем X30 в законе вычисления ее ординат Y3 = Y30 + K3 * (X30 - X3) ^2, а остальные параметры вычисляются. Но прежде чем начать проведение вычислительных экспериментов проверим насколько грамотно мы составили математическую модель на которой будем проводить вычислительные эксперименты и насколько удачно мы задали параметры для численного решения, например, шаг решения или жесткость направляющей. Для этого сравним несколько показателей полученных аналитически с этими же показателями полученными с помощью вычислительного эксперимента при шаге решения 0,005 сек. Сравним, например, длину пути по прямой и по дуге окружности 21,34 и 25,39 метра теория и соответственно 21,37 и 25,45 эксперимент или время движения по прямой 2,848 сек. теория и 2,850 эксперимент или суммарную энергию тела в начальной и конечных точках движения при проведении эксперимента E01=88,154 и E1=88,154, E02=88,19 и E2=88,13, E03=88,188 и E3=88,183, E04=88,19 и E4=88,19 Дж. Полученные данные позволяют сделать вывод о том, что математическая модель адекватно описывает поведение нашей системы, а заданные нами параметры системы обеспечивают необходимую нам точность.

  Как и следовало ожидать по экспериментальным данным (при шаге решения 0,002 сек) время движения по нулевой циклоиде t2 (0) = 2,406 сек. оказалось минимальным (здесь и далее индекс 2 опять относится к циклоиде, 1 к прямой линии, 3 к параболе и 4 к дуге окружности, а в скобках указывается нулевая это траектория или произвольная). Для сравнения привожу результаты по другим траекториям t1 = 2,850 сек, t2 (fiK = 2,416) = 2,598 сек, t3 (0) = 2,428 сек, t3 (X30 = 3) = 2,602 сек, t4 (0) = 2,468 сек, t4 (X40 = 12) = 2,470 сек. Правда этот результат справедлив только для консервативных систем, т.е. систем где отсутствует диссипация энергии, когда при движении груза на него не будет действовать сопротивление среды. Но в программе предусмотрена возможность проведения и эксперимента с диссипацией, но только при линейной зависимости силы сопротивления от скорости движения. Например, при коэффициенте сопротивления Kj =1 время движения по выше перечисленным траекториям будет следующее t1= 5,052 сек, t2 (0) = 5,808 сек, t2 (fiK = 2,416) = 4,774 сек, t3 (0) = 4,990 сек, t3 (X30 = 3) = 4,908 сек, а движения t4 (0) и t4 (X40 = 12) вообще сошли с дистанции, т.к. не смогли преодолеть яму потенциальной энергии. Здесь в более выигрышном положении при прочих равных условиях оказываются траектории, где коэффициент вариации скорости при движении минимален, например, прямая, которая хотя и показала в этом забеге четвертый результат, но при увеличении Kj обязательно займет первое место. Теперь давайте проверим, а нет ли каких то кривых для идеальных систем, которые очень близко совпадают с циклоидой и у них время движения окажется меньше. Как показывают результаты экспериментов с различными параболами и дугами окружности на рис. 8, как в тех случаях, когда кривые находятся выше циклоиды t3 (X30 = 9) = 2,506 сек и t4 (X40 = 9) = 2,432 сек, так и в тех случаях, когда кривые проходят ниже циклоиды t3 (X3 0= 6) = 2,474 сек и t4 (X40 = 6) = 2,418 сек, время движения по циклоиде всегда меньше.

  А теперь посмотрим, не изменится ли результат, если мы конечную точку сместим выше или ниже. Как показывают результаты экспериментов на рис. 9, и в этом случае время движения по циклоиде остается минимальным, как при сдвиге точки вверх (t2 (0) = 2,578 сек, t3 (0) = 2,928 сек и t4 (X40 = 2) = 2,608 сек), так и при сдвиге вниз (t2 (0) = 2,486 сек, t3 (0) = 2,490 сек и t4 (X40 = 15) = 2,494 сек). Таким образом высказывание Эддингтона о принципе наименьшего действия, применительно к движению груза в поле тяжести Земли из одной точки в другую, можно интерпретировать так, что время движения при этом будет быстрее всего или равно или больше времени движения по циклоиде. А вот если мы в начальный момент времени зададим нашему грузу какую то начальную скорость, то здесь будет не все так однозначно. Давайте возьмем несколько траекторий, которые в начальный момент расходятся под небольшими углами друг к другу, и зададим начальную скорость, направление которой совпадет с начальным участком одной из них. Для траекторий изображенных на рис. 10 наихудший результат при начальной скорости равной нулю, как видно из таблицы 1, имеет прямая линия. Давайте зададим различные значения начальной скорости, направление которой совпадет с траекторией прямой линии, и полученные результаты занесем в ту же таблицу. Как мы видим при небольшой скорости лучшие результаты у параболы и дуги за счет более оптимальной траектории, но уже при средней скорости лучший результат у циклоиды у которой траектория средней оптимальности, но угол отклонения от прямой меньше чем у параболы и дуги, но при большой скорости лучшее время показывает прямая, хотя у нее самая неоптимальная траектория из четырех, но здесь уже главную роль играет начальная скорость. Таким образом время движения груза по нулевой циклоиде будет всегда минимальным в поле тяжести Земли только в одном частном случае, когда начальная скорость равна нулю или ее направление совпадает с начальным участком циклоиды. Более запутанной становится ситуация если при движении груза на него при наличии начальной скорости будет действовать сопротивление среды, т.е. у нас будет не консервативная система, но в этом случае авторы этого принципа и не претендуют на его применимость.

  Чтобы закончить с задачей Бернулли, нам осталось рассмотреть только случаи, когда напряженность силового поля, в котором движется груз, отличается от локального поля тяготения Земли, т.е. когда оно, например, в значительных интервалах изменяется в зависимости от расстояния между взаимодействующими телами, как в законах Ньютона или Кулона. И хотя мы именно в одном из таких полей и проводили наши вычислительные эксперименты, но разность как ординат так и абсцисс в начальной и конечной точках движения груза была несоизмерима с расстоянием от груза до центра Земли и поэтому мы практически рассматривали движение груза в плоском постоянном поле, где его напряженность не меняется, как при изменении ординаты, так и при изменении абсциссы, т.е. в любой точке на груз действовала почти постоянная сила m*g и при этом ее вектор всегда был направлен почти вертикально вниз. Чтобы груз двигался действительно в сферическом поле, нам надо чтобы расстояние между начальной и конечной точками движения было соизмеримо с расстоянием до источника создающего это поле. Здесь возможны два варианта. Либо мы берем расстояния между точками соизмеримые с расстоянием до Земли, либо мы оставляем точки на своих местах, а гравитационное поле заменяем электростатическим, которое может дать соизмеримые усилия и при наших масштабах.

  Рассмотрим движение груза в электростатическом поле, когда наш груз и другое взаимодействующее с ним тело такой же массы только жестко прикрепленное к оси ординат инерциальной системы отсчета зарядим разноименными зарядами q1 = q2 = 0,0005 кулона, и разместим второе тело на оси ординат (и как это у нас было и с Землей), но на расстоянии –10 м от оси абсцисс, что позволит получить время движения соизмеримое с рассмотренными нами выше случаями. При этом влияние гравитационного поля Земли исключаем, задав массу второго тела равную 1 кг или вообще нулю. Итак, рассмотрим два варианта движения груза, как в обычном сферическом поле точечного заряда (будем обозначать ))var2-, где 2- означает, что напряженность поля с ростом расстояния уменьшается во второй степени) рис. 12, что является наиболее частым случаем, так и в плоском переменном поле с линейной обратной зависимостью от расстояния ( будем обозначать //var1-) рис. 11, когда, например, второй заряд (масса) равномерно распределен по горизонтальной линии, т.е. сила взаимодействия между телами изменяется с изменением ординаты, а направление действия силы остается постоянным (строго вниз). Вообще то поле во втором случае будет строго //var1- в том случае если длинна этой линии будет равна бесконечности, но уже при длинне этой линии как вправо так и влево от оси ординат на 10 размеров экрана и при ее ординате –0,25 размера экрана ошибка, когда масса (заряд) 1 находится в верхней точке экрана составит 0,28%.

  При проведении этих экспериментов жесткость груза увеличим в 10 раз, т.к. усилия в нижней точке параболы на порядок больше чем в верхней, как из за увеличения силы притяжения между телами, так и из за большой центробежной силы, что может на несколько сантиметров исказить траекторию движения при упругой деформации груза. Для наглядности на рис. 11 и 12 прямые коричневые линии показавают траектории свободного движения груза, т.е. не соединенного с направляющей, а в левом верхнем углу маленькая синяя линия отражает закон изменения напряженности поля и если поле плоское, то нулевой уровень потенциальной энергии будет показан прямой линией совпадающей с осью абсцисс, а если сферическое окружностью радиуса Rz вокруг 2-го груза. Согласно экспериментальным данным при движении в поле //var1- (t2 (0) = 1,998 сек, t3 (X30 = 5) = 2,036 сек, t4 (X40 = 5) = 1,984 сек) циклоида уже не является брахистохроной, а при движении в поле ))var2- (t2 (0) = 2,684 сек, t3 (X30 = 5) = 2,634 сек, t4 (X40 = 8) = 2,638 сек) получается, что время движения по циклоиде вообще самое большое, т.е. она в общем случае не является брахистохроной, что вполне естественно, т.к. уравнение циклоиды получено Бернулли из общего решения для очень частного случая, т.е. плоского поля с постоянной напряженностью //const и для других полей даже высказывание Эддингтона уже становится не верным применительно к принципу кратчайшего времени.

  А если мы рассмотрим и движение груза в других полях (программа Hrono1 позволяет смоделировать 10 различных видов только монополей), то мы просто лишний раз убедимся, что выводы сделанные из результатов движения в одном поле могут полностью противоречить выводам сделанным для движения в другом поле. Например, движение по эллипсу осуществляется не только в поле ))var2- , но и в поле ))var1+, но сам характер движений при этом резко отличается (сравните траектории на рис. 13 и рис. 14). А как бы комбинированное движение по гирерболо-эллипсу с образованием красивых розеточек возможно как при движении в поле ))var2+, так и в поле ))var1-, но характер этих движений опять таки отличается (см. те же рисунки). Кстати похожие розеточки получаются и в поле ))const. А если у нас закон изменения полей только немного отличается от строго линейной или квадратичной зависимости, то вариантов движения может быть бесконечное множество, а возможно такое при неравномерном распределении массы или заряда по объему одного из тел и размерах этого тела соизмеримых с расстоянием между телами. И при этом, например, некоторое проворачивание эллипса образуемого при движении Меркурия вокруг Солнца с образованием розеточек похожих на полученные нами можно очень просто объяснить исходя из этих соображений, а не приплетать сюда так называемую “теорию относительности” Энштейна, да еще при этом и считать такое движение Меркурия доказательством этой самой “гипотезы относительности” Энштейна.

  Таким образом мы видим, что никаких объективных предпосылок для изобретения принципа наименьшего действия в XVIII веке не было, т.к. и для света и для механического движения никакого универсального закона движения из одной точки пространства в другую за минимальное время не существует. Но, как видим, желание получить такой закон законов было столь велико, что замечаний, высказанных мною сейчас по поводу принципа кратчайшего времени, или старались не замечать или просто не могли провести столь точные эксперименты. Нельзя конечно же не учитывать и личной заинтересованности некоторых ученых, например, кроме упоминавшегося выше Лагранжа, Мопертюи приложил просто титанические усилия по увековечиванию своего имени в этом принципе вплоть до привлечения в эту борьбу научных идей царствующих особ, что кстати довело его даже до сумасшествия. Но тут же следует заметить, что вопрос этот действительно очень запутанный и требовал проведения очень сложных экспериментов не доступных в то время. Ведь мы с вами провели не натурные, а вычислительные эксперименты на математических моделях, что стало возможно только при решении дифференциальных уравнений численными методами на компьютерах. Те же самые математические модели помогут нам разобраться и с принципом наименьшего действия и для этого мы воспользуемся той же программой Hrono1.

  К сожалению единственным практическим примером применения принципа наименьшего действия, не считая некоторых задач Эйлера, которые все же являются больше теоретическими, который мне удалось обнаружить в литературных источниках является пример Слудского [7], который можно найти и в современных учебниках, например, [4], поэтому с него и начнем выяснение правил по которым надо играть, чтобы применить на практике этот принцип. В этом примере автор рассматривает свободное, т.е. брошенного под углом к горизонту, и не свободное, т.е. параллельно горизонту, движение тела в поле тяжести Земли (в современных учебниках такие движения называются прямым и окольным путями). При этом, как пишет Слудский, всякое несвободное движение можно рассматривать как свободное происходящее под действием неких сил и сопротивлений, но пояснения к этому вопросу у него даны очень туманно.

  При рассмотрении этого примера Слудский, впрочем как и авторы всех учебников при рассмотрении подобных задач, принимает, что в поле тяжести Земли у нас будет поле //const и следовательно тело, брошенное под углом к горизонту будет лететь по параболе, что является принципиальной ошибкой, т.к. поле у нас будет ))var2- и тело будет лететь по эллипсу. Если бы мы рассматривали полет электрона в трубке кинескопа, где он пролетая между обкладками плоского конденсатора движется именно в таком поле, или рассматривали бы практическую задачу с полетом кирпича на стройплощадке, то у меня бы не было никаких замечаний. Но мы решаем чисто теоретическую задачу и здесь приближенные формулы не допустимы. Да если бы мы даже решали практическую задачу, например, полета снаряда то и в этом случае применение формул для поля //const к полю ))var2- не позволило бы нам при первом выстреле, даже при учете сопротивления воздуха, географической широты и скорости ветра, не только не попасть в блиндаж противника, но мы бы не попали даже в площадь аэродрома. Поэтому не случайно первой в мире практической задачей решенной на ЭВМ была именно задача полета снаряда для составления таблиц стрельбы.

  Но, чтобы все же выяснить правила игры в принцип наименьшего действия, давайте начнем их рассмотрение именно в этом поле, которое и использовали создатели этого принципа, тем более что Слудский дает нам еще и отличие в правилах игры по критерию Лагранжа, когда энергии в двух движениях равны, и по критерию Остроградского, когда энергии могут быть разными из за разных начальных скоростей. А вообще то этих названий для различных критериев в несколько раз больше чем самих критериев и поэтому, чтобы не запутаться в них будем не называть тот или другой критерий по фамилиям применявших его авторов, а просто давать его математическое выражение, тем более, что почти все они сводятся к интегралу по времени от комбинации кинетической энергии T и потенциальной U. И хотя последнее время очень редко используется критерий интеграла по пути движения от произведения массы тела на его скорость (mV), но именно он использовался при зарождении этого принципа и поэтому как справочные значения я буду приводить полученные при вычислительных экспериментах значения и этого критерия. после Лагранж путем замены элемента пути выражением V*dt превратил этот критерий в интеграл по времени от живой силы, т.е. величины которая в два раза больше кинетической энергии. Хотя мне лично вся эта возня с критериями и правилами игры в принцип наименьшего действия равнозначна решению задачи, когда требуется определить в каком случае кирпич брошенный со стройплощадки быстрее долетит - до забора или до обеда. Если Вы скажете до забора, вам ответят не правильно потому что до забора он будет лететь 5 сек, а до обеда осталось 2 сек. А если Вы скажите, что до обеда, то Вам опять ответят, что не правильно потому что теперь у нас до обеда будет пол часа.

  Таким образом Слудский рассматривает две задачи, когда в одном случае рассматриваются два движения начинающихся с одинаковыми скоростями и тело приходит в конечную точку за разное время (применяется критерий T) и когда в другом случае рассматриваются два движения начинающихся с разными скоростями и тело приходит в конечную точку за одно и то же время (применяется критерий T – U ). При этом, как я уже упоминал, он очень туманно объясняет как это конкретно достигается, по тому что его рекомендации по уменьшению напряженности поля и увеличения начальной скорости, чтобы движение тела брошенного под углом очень чуть при малых углах наклона к горизонту отличалось от горизонтального, прямолинейного и равномерного задачи пересечения их на оси абсцисс, т.е. в конечной точке движения абсолютно не решает. Тем более, что он тут же приводит для первой задачи уравнения описывающие первое движение тела (брошенного под углом) как движение по параболе и второго тела как горизонтальное, прямолинейное и равномерное, траектории которых, естественно, по этим уравнениям пересекаются в точке с координатами

  Те же самые туманные пояснения даются и в современном учебнике, поэтому попробуем выяснить сами, что конкретно авторы этого принципа принимают за прямой и окольные пути для решения практических задач. Ведь, как видно из рис. 15, если оба движения будут происходить при одних и тех же условиях, то, как бы мы не уменьшали напряженность поля и угол наклона начальной скорости к горизонту, а и не увеличивали скорости, эти две траектории в поле //const вообще никогда не пересекутся. Следовательно, авторы просто рассматривают в одном случае свободное движение тела, а в другом или не свободное, когда на него наложены удерживающие связи, либо свободное, но при воздействии на него еще каких то дополнительных внешних сил. Например, если мы к силе тяжести – m * g прибавим постоянно действующую на тело силу m * g, то получим, что суммарная сила равна нулю и тело движется и свободно как и в первом случае, но на него не действует сила тяжести. А если мы ограничим свободное движение уравнением прямой, то движение тела, хотя и будет не свободным, но опять таки будет равномерным, прямолинейным и горизонтальным, т.е. как раз и будет описываться приведенными выше уравнениями. Таким образом мы рассматриваем два движения в совершенно различных условиях.

  Не буду приводить математических преобразований, которые позволили Слудскому получить два выражения для интеграла по T для первого случая, отличающихся только вторыми сомножителями, из которых видно, что при малых углах, когда sin (alfa) = alfa, первый интеграл однозначно будет всегда меньше второго. Давайте это проверим экспериментально, а заодно еще раз протестируем нашу программу. Смоделируем два движения для первого случая в поле тяжести эквивалентном электростатическому с напряженностью g = 0,9 м/с^2 со скоростями 1-е VX = 9 м/с, VY = 3 м/с и 2-е VX = 9,487 м/с, VY = 0 м/с. При аналитическом решении мы получаем для первого интеграла значение 280,02 Дж*с, а для второго интеграла 284,62 Дж*с, что очень близко к значениям полученным при моделировании, соответственно, 280,15 и 284,86 и лишний раз доказывает адекватность созданной модели.

  При рассмотрении второго случая, чтобы тело по разным траекториям пришло в конечную точку за одно и тоже время нам надо для второго движения, которое будет происходить по прямой, задать скорости VX = 9 м/с, VY = 0 м/с. Вычисляем аналитически по полученным Слудским интегралам от выражения T+U значения полученных критериев, которые в аналитической записи опять таки отличаются только вторыми сомножителями и при малых углах первый интеграл опять будет однозначно всегда меньше второго. Для первого движения это будет 260,01 Дж*с, а для второго 270,02 Дж*с. Вот только значения полученные на модели дают несколько другой результат 300,15 и 270,13 соответственно. Начинаем разбираться и выясняем, что Слудский оказывается вычислил интегралы от выражения T- U, т.к. интеграл от T+U будет совсем другой, хотя и у него и в учебниках во многих местах записано именно T+U. Эта путаница лишний раз подтверждает насущную потребность все же разобраться с вопросом потенциальной энергии, что я и постараюсь сделать в одной из следующих частей, т.к. посмотрев значения полученные при моделировании для критерия T- U, которые получились соответственно 260,15 и 270,15, мы убеждаемся, что так оно и есть.

  Подведем некоторые итоги по правилам игры в принцип наименьшего действия. Если мы сравниваем два движения одно из которых при прочих равных условиях свободное, а другое нет (либо имеются уравнения связей, либо имеются дополнительные внешние силы), то 

• если мы рассматриваем два движения, у которых одинаковые по модулю начальные скорости и в конечную точку они приходят за разное время, то у свободного движения интеграл по времени от выражения для T будет всегда меньше, чем у не свободного движения.
• если мы рассматриваем два движения, у которых начальные скорости по модулю разные, но в конечную точку они приходят за одно и тоже время, то у свободного движения интеграл по времени от выражения для T- U будет всегда меньше, чем у не свободного движения.

  Правда остался один вопрос, а по какому критерию отличать свободное, т.е. истинное движение от не свободного (не истинного), если и модули скоростей в начале пути одинаковы и время движения до конечной точки одно и тоже или если эти условия соблюдаются для двух или более свободных движений. Авторы этого принципа считают, что такое не возможно и поэтому правил игры в этот принцип для этих случаев не придумали, но как будет показано далее очень даже возможно.

  В данном примере мы сравнивали свободное движение с несвободным, которое производилось по прямой, но может быть есть какие то другие траектории, где этот принцип не будет соблюдаться. Как показали исследования при любых траекториях принятых за несвободное движение принцип наименьшего действия действительно выполняется при движении в поле //const, но данное поле, кроме того, что все таки является одним из многих возможных, является и достаточно экзотичным, и по этому конечно же надо проверить этот принцип в каком нибудь другом поле, например, ))var2-, которое является в Природе самым распространенном (наверное 99% случаев), тем более что именно в этом поле и движутся тела в поле тяжести Земли.

Рис.17
Осцилограмма критериев оптимизации T и T-U из таблицы 2 для 2-ой группы экспериментов
с разверткой по времени при Mt=0,5 с/см, M=250 Дж*с/см.

  На рис. 16 показано как раз движение именно в таком поле, а в таблице 2 приведены результаты этих экспериментов и на рис. 17 дана осциллограмма изменения критериев во времени для 2-ой группы экспериментов. Как и следовало ожидать, учитывая результаты по принципу кратчайшего времени, если мы будем играть в принцип наименьшего действия по правилам, когда он выигрывал в поле //const, то в поле ))var2- принцип проиграет 3 партии из 4, если во 2-ой группе экспериментов за несвободное движение принять движение по прямой. Поэтому, чтобы выигрывать в этом поле, авторам принципа наименьшего действия надо придумывать какие то новые правила игры в этом поле. Тем более, что программа Hrono1 предоставляет им такую возможность, т.к. позволяет вычислять не только интегральные значения от выражений mV, T, T+U и T-U, но и средние. Причем как интегральные, так и средние значения могут быть вычислены как по времени движения, так и по пути движения. А пока они их не придумали достаточно и одной проигранной партии для того, чтобы этот принцип перестал быть принципом.

  Но пожалуй главный вывод, который можно сделать из движения в этом поле это то, что принцип наименьшего действия не отражает здесь вообще никакие объективные законы Природы, т.к. при несвободном движении эти критерии могут быть не только меньше, чем при свободном, но и больше (смотрите движение по дуге и параболе), т.е. они могут быть вообще любые. Следовательно, все эти критерии являются субъективными и любой автор нового принципа наименьшего действия для рассмотренного им очень частного случая движения наверное сможет подобрать такой заковыристый критерий, когда этот принцип будет соблюдаться. Вот только кому такой личный (домашний) принцип нужен. И эти выводы мы сделали при учете того, что проверили этот принцип только в одном поле и то в монополе, т.е. поле создаваемом одной массой или зарядом, но в Природе почти всегда наблюдаются мультиполя. Например, рассматривая движение космических аппаратов в поле тяжести Земли нельзя не учитывать и поля тяготения Луны или Солнца, а, при рассмотрении движения электрона в поле ядра, нельзя не учитывать поля создаваемые другими электронами и т.д. Конечно же данный вопрос по принципу наименьшего действия можно считать решенным и даже не рассматривать движение в мультиполе, но может быть кому то это будет полезно и поэтому я рассмотрю и несколько движений в мультиполях.

  Программа Hrono1 позволяет смоделировать только один вид мультиполя, но зато самый распространенный ))var2- и при этом третья масса с таким же значением массы и заряда как у второй располагается на оси абсцисс на расстоянии от начала координат KRz3 * Rz, где KRz3 задается и как и Rz. В данном случае эта масса и как и вторая соединена неподвижно с инерциальной системой отсчета и теперь потенциальная энергия массы 1 будет равна сумме потенциальных энергий в поле масс 2 и 3, а нулевой уровень потенциальной энергии будет в точке на середине отрезка соединяющего центры этих масс. В таком мультиполе мы уже можем получить практически неограниченное количество свободных траекторий, которые начинаются и заканчиваются в одних и тех же точках пространства и на рис. 18 показаны несколько таких траекторий. Поэтому давайте не будем подбирать траекторию несвободного движения, чтобы при этом нарушился принцип наименьшего действия, т.к. это слишком легко, а давайте просто зададим какую то одну траекторию несвободного движения и проверим выиграет ли принцип наименьшего действия у нее при различных траекториях свободного движения. На рис. 18 такой траекторией является дуга окружности (красная кривая), а результаты экспериментов представлены в табл. 3. Для более наглядного представления о характере изменения критериев в таком поле на рис. 19 дана осциллограмма их изменения для одной из траекторий (желто-зеленой) изображенных на рис. 18 – это (коричневые кривые) и сопоставимых экспериментов при движении по дуге окружности (красные кривые).

  Как видно из данных табл. 3, успехи у принципа наименьшего действия, даже когда мы ему дали фору, не важные, т.е. выиграно только 3 партии из 10 (2 раза по критерию T – U и 1 раз по критерию T). Таким образом ни о каком научном значении этого принципа не может быть и речи, если он даже по своим же правилам определения субъективной меры добра и зла не может у нас выиграть, не говоря уже об общепринятых правилах определения объективных показателей функционирования системы. Кроме того, следует заметить, что лишены всякого смысла и разговоры о прямом и окольных путях, т.к. на рисунке 18 у нас все пути при свободном движении прямые, но согласно принципам вариационного исчисления прямой путь может быть только один. Не ясно только какой. Наверное, в зависимости от того, что бы нам хотелось получить, когда рассматриваем одну задачу, то тот у которого критерий оптимизации T минимальный, а когда рассматриваем другую задачу то тот у которого критерий оптимизации T- U минимальный. И вообще каков в таком случае смысл прямого, т.е. действительного пути. А если мы посмотрим на рис. 20, где у нас показаны две траектории, которые пересекаются в одной точке, в одно и то же время и при этом их начальные скорости тоже равны, то у меня не хватает воображения, чтобы придумать правило по которому один путь будет назван прямым, т.е. истинным, а другой окольным, т.е. не возможным хотя значения критериев оптимизации, кроме T+ U, у них и получились разные. Для большей точности решение производилось с шагом 0,0005 сек., а данные по критериям оптимизации при этих движениях приведены в табл. 4.

  Можно конечно в качестве головоломки предложить сторонникам принципа наименьшего действия, если таковые еще остались, рассмотреть еще траекторию свободного движения на рис. 21, где она несколько раз пересекает конечную точку в разное время (причем эти точки не являются даже сопряженными кинетическими фокусами, т.к. траектория не периодическая), но я думаю, что это уже навряд ли кому интересно, т.к. с полной уверенностью можно констатировать, что никакого принципа наименьшего действия, равно как и самой величины “действия”, в Природе не существует, т.е. научная ценность этого принципа примерно такая же как должность 5-го заместителя младшего помощника старшего дворника. При этом если и считать “действие” мерой чего нибудь то ни в коем случае не мерой механической формы движения материи, а мерой добра и зла, которые каждый автор понимает по своему чисто субъективно и для различных задач изобретает новые критерии оценки этих величин.

  К сожалению рассмотрение вышеперечисленных принципов заняло слишком много места и поэтому о такой величине как квант действия мы поговорим в следующий раз. А после того, как мы выяснили, что нет никакого действия вообще, очень даже интересно выяснить что же это за величина такая, которая помогла Энштейну с его другом Планком поставить на голову всю физику. А чтобы такое больше не происходило и физика стояла не на голове, а на ногах, в нее надо просто вернуть физический смысл, а всем великим математико-физикам, т.е. любителям стоять на голове, не плохо было бы занять свое место рядом с кафедрами современных геометров и не лезть в физику где надо и не надо со своим вариационным или тензорным исчислениями и прочими очень умными и наверное где то нужными вещами. Тогда мы по крайней мере больше не услышим очень заумных высказываний о том, что с релятивистской точки зрения плотность, умноженная на четырехмерный объем пространства-времени, это и есть то самое действие по Гамильтону, которого, как мы выяснили никогда и не было в Природе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Амелькин А.А. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука. 1987. –160 с.

2. И. Бернулли. Кривизна луча в неоднородных прозрачных телах и решение задачи, предложенной мною в “Acta” за 1696 г., стр. 269, о нахождении “брахистохронной линии”, т.е. такой линии, по которой тело должно проходить от одной заданной точки до другой в кратчайшее время; затем о построении “синхронной кривой”, т.е. волны лучей// Вариационные принципы механики/ Под ред. Л.С. Полака, М.: Физматгиз, 1959. с. 12-17.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10-ти т.Т.1. Механика. - 5-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с. 

4. Маркеев А.П. Теоретическая механика - 2-е изд. - М.: ЧеРо. 1999, с. 572.

5. М. Планк. Принцип наименьшего действия// Вариационные принципы механики/ Под ред. Л.С. Полака, М.: Физматгиз, 1959. с. 580-588.

6. Полак Л.С. Вариационные принципы механики// Вариационные принципы механики/ Под ред. Л.С. Полака, М.: Физматгиз, 1959. с. 780-879.

7. Слудский Ф.А. Заметка о начале наименьшего действия// Вариационные принципы механики/ Под ред. Л.С. Полака, М.: Физматгиз, 1959. с. 388-391.

8. П. Ферма. Синтез для рефракции// Вариационные принципы механики/ Под ред. Л.С. Полака, М.: Физматгиз, 1959. с. 6-10.

9. Юдин С.Ю. Моделирование систем и оптимизация их параметров. - Волгоград: Электронный вариант книги (http://ser.t-k.ru), 2003. - 208с.

Версия для печати
Автор: к.т.н., Юдин Сергей Юрьевич
P.S. Материал защищён.
Дата публикации 13.03.2005гг

НОВЫЕ СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ
	Технология изготовления универсальных муфт для бесварочного, безрезьбового, бесфлянцевого соединения отрезков труб в трубопроводах высокого давления (имеется видео)
	Технология очистки нефти и нефтепродуктов
	О возможности перемещения замкнутой механической системы за счёт внутренних сил
	Свечение жидкости в тонких диэлектрических каналох
	Взаимосвязь между квантовой и классической механикой
	Миллиметровые волны в медицине. Новый взгляд. ММВ терапия
	Магнитный двигатель
	Источник тепла на базе нососных агрегатов